Question

设0＜α＜π，π＜β＜2π，若对任意的x∈R，都有关于x的等式cos（x+α）+sin(x+β)+

2

cosx=0恒成立，试求α，β的值．

Answer 1

分析：利用两角和公式对题设等式整理，根据等式恒成立联立方程求得cosα的值，根据α的范围确定α的值，进而根据cosβ=sinα求得cosβ的值，根据β的范围求得β．

解答：解：化简得：(cosα+sinβ+

2

)cosx+(cosβ-sinα)sinx=0
则：关于x的等式cos（x+α）+sin(x+β)+

2

cosx=0恒成立的充要条件是：

cosα+sinβ+ 2 =0 cosβ-sinα=0

?

sinβ=-cosα- 2 cosβ=sinα

平方得：cosα=-

2

2

，
又因为：0＜α＜π，所以：α=

3π

4

所以：cosβ=sinα=

2

2

，而π＜β＜2π，所以：β=

7π

4

点评：本题主要考查了三角函数的最值问题，两角和公式的化简求值．考查了学生分析问题的能力，逻辑推理能力．