Question

如图，四棱锥中，，，，平面⊥平面，是线段上一点，，．
（1）证明：⊥平面；
（2）若，求直线与平面所成角的正弦值．

Answer 1

（1）证明详见解析；（2）直线与平面所成角的正弦值为.

解析试题分析：（1）要证⊥平面，只须证明与平面内的两条相交直线垂直即可，对于的证明，只需要根据题中面面垂直的性质及线面垂直的性质即可得出，对于的证明，这需要在平面的直角梯形中根据及得出，进而可得出，问题得以证明；（2）分别以、、所在的直线为、、轴建立空间直角坐标系，进而写出有效点的坐标，设平面的法向量，由确定该法向量的一个坐标，进而根据线面角的向量计算公式即可得出直线与平面所成角的正弦值.
（1）证明：由已知条件可知：在中，，所以
在中，，所以
所以……①
又因平面⊥平面，面……②
由①②及可得⊥平面
（2）如图分别以、、所在的直线为、、轴建立空间直角坐标系

则，,,
所以，
设平面的法向量，则有：
即，取，则
设直线直线与平面所成角为，有
所以直线与平面所成角的正弦值为.
考点：1.空间中的垂直关系；2.空间向量在解决空间角中的应用.