Question

已知函数．

(1)若x₁，x₂∈(0，m)，证明：

(2)若a_n＝f(n)，n＝1，2，…，m－1，证明：a₁＋a_m－1≥a₂＋a_m－2；

(3)对于任意的问以f(a)，f(b)，f(c)的值为边长的三条线段是否可构成三角形？并说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)． 　　， 　　同理， 　　故得 　　(2)由(1)知， 　　，由以上m－3个式子相加得 　　(3)设以f(a)，f(b)，f(c)的值为边长的线段可以构成三角形，事实上因为，所以 　　显然当时，，即f(x)在上是增函数， 　　在处取得最小值，在处取得最大值． 　　不妨设a≤b≤c，则， 　　而 　　因此以f(a)，f(b)，f(c)的值为边长的三条线段可以构成三角形．

提示：

说明：本题是根据高等数学中凸函数的性质及高中教材中一道习题加工、改编而成的，综合考查函数、不等式、数列、三角形等知识点，要求学生熟练掌握不等式的基本证明方法、技巧，会利用求导的方法求函数的单调性、值域等，以及综合运用数学知识解决实际问题的能力．