Question

在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=

2

，AA₁=2，如图，
（1）当点P在BB₁上运动时（点P∈BB₁，且异于B，B₁）设PA∩BA₁=M，PC∩BC₁=N，求证：MN∥平面ABCD
（2）当点P是BB₁的中点时，求异面直线PC与AD₁所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（1）利用平行线分线段成比例定理，证明线线平行，再根据线面平行的判定定理证明线面平行；
（2）先证明∠BNC为异面直线所成的角，因为点P是BB₁的中点，所以根据比例关系可求得BN、CN的长，再△BCN求cos∠BNC，从而求得sin∠BNC．

解答：解：（1）证明：连接MN，∵BP∥AA₁，∴

PM

MA

=

BP

AA1

，
同理

PN

NC

=

BP

CC1

，∵AA₁=CC₁，∴

PM

MA

=

PN

NC

，∴MN∥AC，
又AC?平面ABCD，MN?平面ABCD，∴MN∥平面ABCD．
（2）∵AB∥C₁D₁，AB=C₁D₁，∴四边形ABC₁D₁为平行四边形，
∴AD₁∥BC₁，∴∠BNC为异面直线PC与AD₁所成角，
∵点P是BB₁的中点，∴BP=1=

1

2

CC₁，∴BN=

1

2

NC₁=

1

3

AC₁=

6

3

，
CN=2PN=

2

3

PC=

2 3

3

，BC=

2

，
由余弦定理得cos∠BNC=

BN2+CN2-BC2

2×BN×CN

=0，
∴sin∠BNC=1．

点评：本题考查了平行线分线段成比例定理，考查了线面平行的判定及异面直线所成角的求法，考查了学生的空间想象能力与推理论证能力．