题目内容

双曲线-y2=1上有动点P，F1、F2是两个焦点，求△PF1F2的重心M的轨迹方程.

思路解析：判断轨迹形状，得解法一；点M是被动点，P是主动点且在已知曲线上得解法二相关点法（中间变量法）.

解法一：（待定系数法）如图所示.

∵M是△PF1F2的重心，∴|OM|=|OP|.

过M作MA∥PF1交x轴于A,过M作MB∥PF2交x轴于B.∴|PF1|=3|MA|，|PF2|=3|MB|.

∵P在双曲线上，

∴||PF1|-|PF2||=2a=6.

∴|3|MA|-3|MB||=6.

∴||MA|-|MB||=2＜=|AB|.

∴点M是以A、B为焦点的双曲线，设其标准方程是-=1(a＞0，b＞0).

则2a=2,2c=|AB|=.

∴a2=1,b2=c2-a2=（）2-1=.

∴点M的轨迹方程是x2-=1(y≠0).

解法二：（相关点法）设M（x,y）,P(x0,y0).

∵M是△PF1F2的重心，

∴M分Equation.3的比λ=.

∴解得即P（3x,3y）.

∵P在双曲线上，

∴-(3y)2=1.

∴点M在轨迹方程是x2-=1（y≠0）.

深化升华

    当动点M随点P变化而变化时，点P在已知曲线上，求动点M的轨迹方程，常利用相关点法（中间变量代入法）.当题目中出现重心时，常用重心的性质：到顶点距离是到对边中点距离的二倍；三角形重心坐标公式.


练习册系列答案
相关题目
给出以下命题：
（1）α，β表示平面，a，b，c表示直线，点M；若a?α，b?β，α∩β=c，a∩b=M，则M∈c；
（2）平面内有两个定点F1（0，3），F2（0-3）和一动点M，若||MF1|-|MF2||=2a（a＞0）是定值，则点M的轨迹是双曲线；
（3）在复数范围内分解因式：x2-3x+5=(x-
3+
11
i
2
)(x-
3-
11
i
2
)；
（4）抛物线y2=12x上有一点P到其焦点的距离为6，则其坐标为P（3，±6）．
以上命题中所有正确的命题序号为
（1）（3）（4）
（1）（3）（4）
．
给出以下命题：
（1）α，β表示平面，a，b，c表示直线，点M；若a?α，b?β，α∩β=c，a∩b=M，则M∈c；
（2）平面内有两个定点F1（0，3），F2（0-3）和一动点M，若||MF1|-|MF2||=2a（a＞0）是定值，则点M的轨迹是双曲线；
（3）在复数范围内分解因式：x2-3x+5=(x-
3+
11
i
2
)(x-
3-
11
i
2
)；
（4）抛物线y2=12x上有一点P到其焦点的距离为6，则其坐标为P（3，±6）．
以上命题中所有正确的命题序号为______．
已知椭圆C：与双曲线-y2=1有公共焦点，且离心率为．A，B分别是椭圆C的左顶点和右顶点．点S是椭圆C上位于x轴上方的动点．直线AS，BS分别与直线l：x=分别交于M，N两点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）延长MB交椭圆C于点P，若PS⊥AM，试证明MS2=MB•MP．
（3）当线段MN的长度最小时，在椭圆C上是否存在点T，使得△TSB的面积为？若存在确定点T的个数，若不存在，说明理由．
设双曲线-y2=1的右顶点为A，P是双曲线上异于顶点的一个动点，从A引双曲线的两条渐近线的平行线与直线OP （O为坐标原点）分别交于Q和R两点．
（1）证明：无论P点在什么位置，总有||2=|•|；
（2）设动点C满足条件：=（+），求点C的轨迹方程．

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