Question

3．在数列{a_n}中，前n项和为S_n=2n²-17n．
（1）求a_n；
（2）S_n取最小值时，求n．（用三种方法求a_n，a_n=S_n-S_n-1，S_n=$\frac{n{（a}_{1}{+a}_{n}）}{2}$，特殊值法）

Answer 1

分析 （1）解法一：由S_n=2n²-17n，可得当n=1时，a₁=-15；当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1．
解法二：由S_n=2n²-17n可知：数列{a_n}是等差数列，当n=1时，a₁=-15；当n=2时，a₁+a₂=-26，解得a₂，利用公差d=a₂-a₁．利用通项公式即可得出．
解法三：由S_n=2n²-17n可知：数列{a_n}是等差数列，当n=1时，a₁=-15；又S_n=2n²-17n=$\frac{n（{a}_{1}+{a}_{n}）}{2}$，解得a_n即可．
（2）由a_n=4n-19≤0，解得n，即可得出．

解答 解：（1）解法一：∵S_n=2n²-17n，∴当n=1时，a₁=2-17=-15；当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（2n²-17n）-[2（n-1）²-17（n-1）]=4n-19．
当n=1时，上式也成立．
∴a_n=4n-19．
解法二：由S_n=2n²-17n可知：数列{a_n}是等差数列，
当n=1时，a₁=2-17=-15；
当n=2时，a₁+a₂=2×2²-17×2=-26，∴a₂=-11，
∴公差d=a₂-a₁=-11-（-15）=4．
∴a_n=-15+4（n-1）=4n-19．
解法三：由S_n=2n²-17n可知：数列{a_n}是等差数列，
当n=1时，a₁=2-17=-15；
又S_n=2n²-17n=$\frac{n（{a}_{1}+{a}_{n}）}{2}$=$\frac{n（-15+{a}_{n}）}{2}$，解得a_n=4n-19．
（2）由a_n=4n-19≤0，解得n≤$\frac{19}{4}$=4+$\frac{3}{4}$，
∴n≤4，a_n＜0；n≥5，a_n＞0．
∴S_n取最小值时，n=4．

点评 本题考查了等差数列的通项公式及其前n和公式、递推关系、一次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．