Question

【题目】设函数，.

（1）当时，函数有两个极值点，求的取值范围；

（2）若在点处的切线与轴平行，且函数在时，其图象上每一点处切线的倾斜角均为锐角，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】分析：（1）求得导函数，题意说明有两个零点，即有两个解，或直线与函数的有两个交点，可用导数研究的性质（单调性，极值等），再结合图象可得的范围；

（2）首先题意说明，从而有且，其次时，恒成立，因此的最小值大于0，这可由导数来研究，从而得出的范围．

详解：（1) ）当时，，，

所以有两个极值点就是方程有两个解，

即与的图像的交点有两个.

∵，当时，，单调递增；当时，，单调递减.有极大值

又因为时，；当时，.

当时与的图像的交点有0个；

当或时与的图像的交点有1个；

当时与的图象的交点有2个；

综上.

（2）函数在点处的切线与轴平行，所以且，因为，

所以且；

在时，其图像的每一点处的切线的倾斜角均为锐角，

即当时，恒成立，即

，

令，∴

设，，因为，所以，∴，

∴在单调递增，即在单调递增，

∴，当且时，，

所以在单调递增；

∴成立

当，因为在单调递增，所以，，

所以存在有；

当时，，单调递减，所以有，不恒成立；

所以实数的取值范围为.