Question

函数y=f（x）在区间（0，+∞）内可导，导函数f'（x）是减函数，且f′（x）＞0。设x₀∈（0，+∞），y=kx+m是曲线y=f（x）在点（x₀，f（x₀））的切线方程，并设函数g（x）=kx+m。
（1）用x₀、f（x₀）、f′（x₀）表示m；
（2）证明：当x₀∈（0，+∞）时，g（x）≥f（x）；
（3）若关于x的不等式x²+1≥ax+b≥在上恒成立，其中a、b为实数，求b的取值范围及a与b所满足的关系。

Answer 1

解：（1）。
（2）令
则
因为递减，
所以递增，
因此，当时，
当时，
所以是h（x）唯一的极值点，且是极小值点，
可知h（x）的最小值为0，
因此
即。
（3），是不等式成立的必要条件，以下讨论设此条件成立
，即对任意成立的充要条件是

另一方面，由于满足前述题设中关于函数的条件，
利用（2）的结果可知，的充要条件是：过点（0，b）与曲线相切的直线的斜率大于，该切线的方程为
于是的充要条件是
综上，不等式对任意成立的充要条件是
 ①
显然，存在a、b使①式成立的充要条件是：不等式 ②有解
解不等式②得③
因此，③式即为b的取值范围，①式即为实数在a与b所满足的关系。