Question

以下命题中，正确命题的个数有（　　）
①函数f（x）=log₂x与函数f(x)=log

1

2

x的图象关于x轴对称；
②集合A={x|ax²-4x+4=0，a∈R}恰有一个元素，则实数a的值为1；
③函数f（x）=sinx图象的对称中心坐标为（kπ，0），（k∈Z）；
④已知定义在R上的奇函数f（x），当x＞0时，f（x）=2^x，则当x＜0时，f(x)=-

1

2x

．

• A、1个
• B、2个
• C、3个
• D、4个

Answer 1

分析：①由于函数f(x)=log

1

2

x=-log₂x，可知函数f（x）=log₂x与函数f(x)=log

1

2

x的图象关于x轴对称；
②当a=0时，由-4x+4=0，解得x=1，此时A只含有一个元素；当△=（-4）²-16a=0，此时A也只含有一个元素；
③令sinx=0，解得x=kπ（k∈Z），即可得到函数f（x）=sinx图象的对称中心；
④设x＜0，则-x＞0，利用奇函数的性质可得：f（x）=-f（-x）=-2^-x=-

1

2x

．

解答：解：①∵函数f(x)=log

1

2

x=-log₂x，∴函数f（x）=log₂x与函数f(x)=log

1

2

x的图象关于x轴对称，因此正确；
②当a=0时，由-4x+4=0，解得x=1，此时A={1}只含有一个元素；当△=（-4）²-16a=0，即a=1时，由x²-4x+4=0，解得x=2，
∴此时A={2}只含有一个元素；综上可知：a=0或1．
③令sinx=0，解得x=kπ（k∈Z），因此函数f（x）=sinx图象的对称中心坐标为（kπ，0），（k∈Z），故正确；
④设x＜0，则-x＞0，∴f（x）=-f（-x）=-2^-x=-

1

2x

，因此正确．
综上可知：①②③④都正确．
故选：D．

点评：本题综合考查了函数的图象与性质、一元二次方程的实数根与判别式△的关系、分类讨论等基础知识与基本技能方法，属于难题．