Question

a、b、c为△ABC的三边,已知a²-a-2b-2c=0,a+2b-2c+3=0,求此三角形的最大内角.

Answer 1

解法一:首先确定a、b、c三边的大小关系,进而确定最大角,然后再根据余弦定理求出最大角.

    由已知a²-a-2b-2c=0.                             ①

a+2b-2c+3=0.                                          ②

①+②,得4c=a²+3,

①-②,得4b=(a+1)(a-3),

∴b=(a-3)(a+1)＞0,c=(a²+3)＞0.

    解得a＞3,

    又b-c=(a-3)(a+1)-(a²+3)=-(a+3)＜0,

c-a=(a²+3)-a=(a²-4a+3)=(a-3)(a-1)＞0,

    故c＞b,c＞a,即c为最大边,C为最大角.

∴cosC=

=

=-.

∴△ABC的最大角C=120°.

解法二:由余弦定理的特征可知,只要通过已知的等式,构设出一个齐次式,便有可能求出三角形的最大角.

    将已知的等式变形有a²=a+2b+2c,          ①

3=2c-a-2b,                                             ②

①·②可得3a²=(a+2b+2c)(2c-a-2b),

    整理,得c²=a²+b²+ab,

    即可得cosC==-,

    故C=120°.

    显然欲求的最大角为120°.