题目内容
【题目】已知
，其中
.
（1）求函数
的极大值点；
（2）当
时，若在
上至少存在一点
，使
成立，求
的取值范围.
【答案】（1）1；（2）
.
【解析】试题分析：（1）求导，对
进行
四类讨论，得到极大值的情况；（2）在
上至少存在一点
，使
成立，等价于当
时， 
，结合（1）的单调性情况，求
，得到
的取值范围.
试题解析：
（1）由已知
，
当
，即
时， 
在
上递减，在
上递增，无极大值；
当
，即
时， 
在
上递增，在
上递减，在
上递增，所以
在
处取极大值；
当
，即
时， 
在
上递增，无极大值；
当
时，即
时， 
在
上递增，在
上递减，在
上递增，故
在
处取极大值.
综上所述，当
或
时， 
无极大值；
当
时， 
的极大值点为
；
当
时
的极大值点为
.
（2）在
上至少存在一点
，使
成立，等价于当
时， 
.
由（1）知，①当
时，函数
在
上递减，在
上递增，
∴
，
∴要使
成立，必须使
成立或
成立，
由
，解得
，
由
，解得
.
∵
，∴
.
②当
时，函数
在
上递增，在
上递减，
∴
，
综上所述，当
时，在
上至少存在一点
，使
成立.
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