Question

（2011•延庆县一模）已知f(x)=sin(x+

π

3

)
（Ⅰ）如果sinx=

3

5

，

π

2

＜x＜π，求f（x）的值；
（Ⅱ）如果0＜x＜

π

2

，设g（x）=2f（2x），求g（x）的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）通过sinx=

3

5

，

π

2

＜x＜π，求出cosx的值，通过两角和的正弦函数化简f（x）的表达式，即可求出它的值；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）求出g（x）=2f（2x）的表达式，通过0＜x＜

π

2

，求出2x的范围，推出2x+

π

3

的范围，结合正弦函数的值域，即可求解g（x）的最大值和最小值．

解答：解：（Ⅰ）∵sinx=

3

5

，

π

2

＜x＜π，∴cosx=-

4

5

…（2分）
∴f(x)=sinxcos

π

3

+cosxsin

π

3

…（4分）
=

3

5

×

1

2

+(-

4

5

)×

3

2

…（6分）
=

3-4 3

10

…（7分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得g(x)=2f(2x)=2sin(2x+

π

3

)…（8分）
∵0＜x＜

π

2

，∴0＜2x＜π，
∴

π

3

＜2x+

π

3

＜

4π

3

…（10分）
∴-

3

2

≤sin(2x+

π

3

)≤1∴-

3

≤g(x)≤2…（12分）
∴g(x)max=2，g(x)min=-

3

，…（13分）

点评：本题是中档题，考查三角函数的值的求法，两角和的正弦函数，正弦函数的值域的求法，考查计算能力，基本知识的灵活运用能力．