Question

已知F₁、F₂是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，∠F₁PF₂=60°.

（1）求椭圆的离心率的取值范围；

（2）求证:△F₁PF₂的面积只与椭圆的短轴长有关.

Answer 1

分析：不妨设椭圆方程=1(a＞b＞0)，运用椭圆定义|PF₁|+|PF₂|=2a,在△F₁PF₂中运用余弦定理即可.

(1)解:设椭圆方程=1(a＞b＞0)，

由余弦定理得

cos60°=

=.

|PF₁|·|PF₂|=4a²-2|PF₁|·|PF₂|-4c²,∴3|PF₁|·|PF₂|=4b²，

∴|PF₁|·|PF₂|=.

又∵|PF₁|·|PF₂|≤()²=a²,

∴3a²≥4(a²-c²),∴≥,∴e≥.

又∵椭圆中0＜e＜1.∴所求椭圆的离心率的取值范围是≤e＜1.

(2)证明：由（1）可知|PF₁|·|PF₂|=,

S=|PF₁|·|PF₂|sin60°=××=b².

∴△F₁PF₂的面积只与椭圆的短轴长有关.

点拨：在用余弦定理时，始终保持|PF₁|²+|PF₂|²的形式不变，不能联系定义，则难以进行.