Question

已知函数f(x)＝x(x－a)(x－b)，其中0＜a＜b．

(1)设f(x)在x＝s和x＝t处取得极值，其中s＜t，求证：0＜s＜a＜t＜b；

(2)设A(s，f(s))，B(t，f(t))，求证：线段AB的中点C在曲线y＝f(x)上；

(3)若，求证：过原点且与曲线y＝f(x)相切的两条直线不可能垂直．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)，∴的两根为， 　　令，∵，∴， 　　故有; 　　(2)设中点，则， 　　故有，∴， 　　． 　　∴． 　　代入验算可知在曲线上; 　　(3)过曲线上的点的切线的斜率是， 　　当时，切线的斜率; 　　当时，，∴， 　　∴切线斜率． 　　∵，∴，∴ 　　∴ 　　∴，故过原点且与曲线相切的两条直线不可能垂直．