Question

如图，长为6的线段PQ的端点分别在射线y=0（x≤0）和x=0（y≤0）上滑动，点M在线段PQ上，且

MQ

=2

PM

．
（1）求点M的轨迹方程；
（2）若点M的轨迹与x轴、y轴分别交于点A，B，求四边形OAMB面积的最大值．

Answer 1

分析：（1）先设出定点P、Q的坐标：P（x₁，0），Q（0，y₁），以及动点M的坐标（x，y），根据向量关系式

MQ

=2

PM

，解出用x、y表示x₁，y₁的式子，最后根据线段PQ长为6建立关系式，再结合点P、Q分别在射线y=0（x≤0）和x=0（y≤0）上滑动，可得点M的轨迹方程；
（2）连接OM，将四边形OAMB面积分成三角形OAM面积与三角形OBM面积的和．再进行三角换元：设点M坐标为（4cosα，
2sinα），其中4cosα≤0，2sinα≤0，可得S_△OAM=-4sinα且S_△OBM=-4cosα，所以四边形OAMB面积S=-4（sinα+cosα），最后利用平方的方法，可以求得sinα+cosα的最小值为-

2

，从而得到四边形OAMB面积的最大值．

解答：解：（1）设P（x₁，0），Q（0，y₁），M（x，y），
其中x₁，y₁均为小于或等于0的数
∵

MQ

=2

PM

，

MQ

=(-x，y1-y)，

PM

=(x-x1，y)
∴-x=2（x-x₁），y₁-y=2y
∴

3x=2x1 3y=y1

⇒

x1= 3 2 x y1=3y

∵线段PQ长为6，
∴x₁²+y₁²=36，得

x2

16

+

y2

4

=1，
∵x₁，y₁均为小于或等于0的数
∴

x2

16

+

y2

4

=1(x，y≤0)即为点M的轨迹方程；
（2）连接OM，可得四边形OAMB面积S=S_△OAM+S_△OBM
∵点M在椭圆弧

x2

16

+

y2

4

=1(x，y≤0)上，
∴可设M（4cosα，2sinα），其中4cosα≤0，2sinα≤0，
∴S_△OAM=

1

2

OA×|y_M|=-4sinα，S_△OBM=

1

2

OB×|x_M|=-4cosα
∴四边形OAMB面积S=-4（sinα+cosα），
∵（sinα+cosα）²=1+sin2α≤2，
∴-

2

≤（sinα+cosα）≤

2

∴当且仅当sinα=cosα=-

2

2

时，sinα+cosα的最小值为-

2

此时，四边形OAMB面积S取得最大值4

2

点评：本题用动点的轨迹与求多边形面积为载体，着重考查了椭圆的标准方程、三角函数的定义域和值域等知识点，属于中档题．