Question

已知集合A＝{x∈R| ax2－3x＋2＝0}，其中a为常数，且a∈R．

①若A是空集，求a的范围；（3分）

②若A中只有一个元素，求a的值；（4分）

③若A中至多只有一个元素，求a的范围．（3分）

Answer 1

解：①∵A是空集，

∴方程ax2－3x＋2＝0无实数根．

＜

≠

∴    解得a＞．

②∵A中只有一个元素，

∴方程ax2－3x＋2＝0只有一个实数根．

当a＝0时，方程化为－3x＋2＝0，只有一个实数根x＝；

当a≠0时，令Δ＝9－8a＝0，得a＝，这时一元二次方程ax2－3x＋2＝0有两个相等的实数根，即A中只有一个元素．

由以上可知a＝0，或a＝时，A中只有一个元素．

③若A中至多只有一个元素，则包括两种情形：A中有且仅有一个元素；A是空集．由①②的结果可得a＝0，或a≥．