Question

已知函数f（x）=（1+cotx）sin²x+msin（x+

π

4

）sin（x-

π

4

），
（1）当m=0时，求f（x）在区间[

π

3

，

3π

4

]上的取值范围；
（2）当tanα=2时，f（a）=

3

5

，求m的值．

Answer 1

分析：（1）当m=0时，可求得f（x）=

2

2

sin（2x-

π

4

）+

1

2

，利用正弦函数的单调性即可求得f（x）在区间[

π

3

，

3π

4

]上的取值范围；
（2）依题意，f（x）=

1

2

[sin2x-（1+m）cos2x]+

1

2

，由tanα=2可求得sin2α与cos2α，再由f（α）=

3

5

，即可求得m的值．

解答：解：（1）当m=0时，
f（x）=sin²x+sinxcosx
=

1

2

（sin2x-cos2x）+

1

2

=

2

2

sin（2x-

π

4

）+

1

2

，
又由x∈[

π

3

，

3π

4

]，故2x-

π

4

∈[

5π

12

，

5π

4

]，
∴sin（2x-

π

4

）∈[-

2

2

，1]，
∴f（x）=

2

2

sin（2x-

π

4

）+

1

2

∈[0，

1+ 2

2

]，
（2）f（x）=sin²x+sinxcosx-

m

2

cos2x
=

1-cos2x

2

+

1

2

sin2x-

m

2

cos2x
=

1

2

[sin2x-（1+m）cos2x]+

1

2

，
由tanα=2得sin2α=

2sinαcosα

sin2α+cos2α

=

2tanα

1+tan2α

=

4

5

，
cos2α=

cos2α-sin2α

sin2α+cos2α

=

1-tan2α

1+tan2α

=-

3

5

，
所以

3

5

=

1

2

[

4

5

+（1+m）×

3

5

]+

1

2

，
解得m=-2．

点评：本题考查两角和与差的正弦函数，考查二倍角的正弦与余弦，突出考查三角函数的化简求值，属于中档题．