Question

能够使得圆x²+y²-2x+4y+1=0上恰有两个点到直线2x+y+c=0距离等于1的c的取值范围为______．

Answer 1

把圆的方程化为标准方程得：（x-1）²+（y+2）²=4，
得到圆心坐标为（1，-2），半径r=2，
根据题意画出图象，如图所示：
因为圆心到直线2x+y+c=0的距离d=

|c|

5

，根据图象可知：
当d∈（1，3）时，圆上恰有两个点到直线2x+y+c=0距离等于1，
即1＜

|c|

5

＜3，当c＞0时，解得：

5

＜c＜3

5

；当c＜0时，解得-3

5

＜c＜-

5

，
则满足题意的c的取值范围是：（-3

5

，-

5

）∪（

5

，3

5

）．
故答案为：（-3

5

，-

5

）∪（

5

，3

5

）．