Question

已知数列{a_n}中，a1=1，anan+1=(

1

3

)n，(n∈N*)，
（1）求证：数列{a_2n}与{a_2n-1}（n∈N^*）都是等比数列；
（2）求数列{a_n}前2n的和T_2n；
（3）若数列{a_n}前2n的和为T_2n，不等式81T_2n•a_2n≤2（1-ka_2n）对（n∈N^*）恒成立，求k的最大值．

Answer 1

分析：（1）整理anan+1=(

1

3

)n得

an+2

an

=

1

3

根据等比数列的定义判定出数列{a_2n}与{a_2n-1}（n∈N^*）都是等比数列；
（2）根据T_2n=（a₁+a₃+…+a_2n-1）+（a₂+a₄+…+a_2n）利用等比数列的求和公式求得答案．
（3）把（2）中的T_2n和a_2n，代入81T_2n•a_2n≤2（1-ka_2n），令t=(

1

3

)n，求得t与k的不等式关系，进而根据t求得k的范围，求得k的最大值．

解答：解：（1）∵anan+1=(

1

3

)n，
∴

an+2

an

=

1

3

∴数列a₁，a₃，…a_2n-1，是以1为首项，

1

3

为公比的等比数列；
数列a₂，a₄，…，a_2n，是以

1

3

为首项，

1

3

为公比的等比数列．
（2）T2n=(a1+a3+…+a2n-1)+(a2+a4+…+a2n)=

1-( 1 3 )n

1- 1 3

+

1 3 [1-( 1 3 )n]

1- 1 3

=2-2(

1

3

)n
（3）81T_2n•a_2n≤2（1-ka_2n），则81•[2-2(

1

3

)n]•(

1

3

)n≤2•[1-k(

1

3

)n]，
令t=(

1

3

)n，则81（1-t）t≤1-kt，kt≤1-81（1-t）t，∵t＞0，k≤81t+

1

t

-81
又81t+

1

t

-81≥2

81

-81=-63，等号当且仅当81t=

1

t

，t=

1

9

，
即(

1

3

)n=

1

9

，n=2时成立．故k≤-63，即k的最大值为-63．

点评：本题主要考查了等比关系的确定，等比数列的求和问题．解题的关键是对等比数列基础知识点的熟练掌握．