题目内容

已知两个实数a，b满足a³-3+a=0且（b-3）³+b=0，则a，b，1三个数从小到大的关系是

（用“＜”表示）．

分析：先比较a与1的大小，再比较a，b的大小，从而得出结论．

解答：解：实数a，b满足a³-3+a=0①且（b-3）³+b=0②，
在①中，设y=f（a）=a³+a-3，则y′=3a²+1＞0，
∴f（a）是定义域上的增函数；
又f（1）=-1＜0，f（2）=7＞0，
∴f（a）在（1，2）内有唯一的零点，
即①中1＜a＜2；
又①+②得，a³-3+a+（b-3）³+b=0，
∴（a+b-3）[a²-a（b-3）+（b-3）²]=0，
∴a+b-3=0，
∴b=3-a=a³，
由①中a＞1，
∴a³＞a，
即b＞a，
∴1＜a＜b；
故答案为：1＜a＜b．

点评：本题考查了已知两个等式来比较两个实数大小的问题，解题时由等式得出实数的大小，从而能够比较，是易错题．

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．
（Ⅰ）求实数p的值；
（Ⅱ）如图为统计比赛的局数n和甲、乙的总得分数S、T的程序框图．其中如果甲获胜，输入a=1，b=0；如果乙获胜，则输入a=0，b=1．请问在第一、第二两个判断框中应分别填写什么条件；
（Ⅲ）设ζ表示比赛停止时已比赛的局数，求随机变量ζ的分布列和数学期望Eζ．

（本小题满10分）注意：第（3）小题平行班学生不必做，特保班学生必须做。对于函数，若存在x₀∈R，使成立，则称x₀为的不动点。已知函数（a≠0）。

（1）当时，求函数的不动点；

（2）若对任意实数b，函数恒有两个相异的不动点，求a的取值范围；

（3）（特保班做）　在（2）的条件下，若图象上A、B两点的横坐标是函数的不动点，且A、B两点关于点对称，求的的最小值。

在第十六届广州亚运会上，某项目的比赛规则为：由两人（记为甲和乙）进行比赛，每局胜者得1分，负者得0分（无平局），比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为p（p＞0.5），且各局胜负相互独立．已知第二局比赛结束时比赛停止的概率为 $数学公式$ ．
（Ⅰ）求实数p的值；
（Ⅱ）如图为统计比赛的局数n和甲、乙的总得分数S、T的程序框图．其中如果甲获胜，输入a=1，b=0；如果乙获胜，则输入a=0，b=1．请问在第一、第二两个判断框中应分别填写什么条件；
（Ⅲ）设ζ表示比赛停止时已比赛的局数，求随机变量ζ的分布列和数学期望Eζ．

（本小题满10分）注意：第（3）小题平行班学生不必做，特保班学生必须做。

对于函数，若存在x₀∈R，使成立，则称x₀为的不动点。

已知函数（a≠0）。

（1）当时，求函数的不动点；

（2）若对任意实数b，函数恒有两个相异的不动点，求a的取值范围；

（3）（特保班做）　在（2）的条件下，若图象上A、B两点的横坐标是函数的不动点，且A、B两点关于点对称，求的的最小值。