题目内容

方程lg（x-a）=2（lgx-lg3）至少有一个实数根的充要条件是________．

$\text{[math]}$
分析：先将已知方程等价变形，得到x大于0且有方程a= $\text{[math]}$ 成立，讨论右边的二次函数最值，得到 $\text{[math]}$ ，从而得到充要条件为 $\text{[math]}$ ．再进行正反论证，说明充分性和必要性都成立．
解答：方程lg（x-a）=2（lgx-lg3）等价于lg（x-a）=lg $\text{[math]}$
即： $\text{[math]}$ ? $\text{[math]}$ …（*）
而F（x）= $\text{[math]}$ 在（0，+∞）的最大值为F（ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$
∴F（x）的值域为（-∞， $\text{[math]}$ ]
接下来讨论充分性和必要性
①充分性：若方程lg（x-a）=2（lgx-lg3）至少有一个实数根，说明（*）式至少有一个实数解
∴a应该落在F（x）= $\text{[math]}$ 在（0，+∞）的值域范围内，可得 $\text{[math]}$
②必要性：若 $\text{[math]}$ ，说明a∈（-∞， $\text{[math]}$ ]，落在F（x）= $\text{[math]}$ 在（0，+∞）的值域范围内，
∴（*）式至少有一个实数解，从而方程lg（x-a）=2（lgx-lg3）至少有一个实数根．
综上所述，方程lg（x-a）=2（lgx-lg3）至少有一个实数根的充要条件是 $\text{[math]}$
故答案为： $\text{[math]}$
点评：本题以含有对数的方程为载体，考查了必要条件、充分条件与充要条件的判断和根的存在性及根的个数判断等知识点，属于中档题．