Question

用数学归纳法证明n（n+1）（2n+1）能被6整除时，由归纳假设推证n=k+1时命题成立，需将n=k+1时的原式表示成（　　）

A．k（k+1）（2k+1）+6（k+1）

B．6k（k+1）（2k+1）

C．k（k+1）（2k+1）+6（k+1）²

D．以上都不对

Answer 1

分析：在使用数学归纳法证明“n（n+1）（2n+1）能被6整除”的过程中，由n=k时成立，即“k（k+1）（2k+1）能被6整除”时，为了使用已知结论对（k+1）（k+2）（2k+3）进行论证，在分解的过程中一定要分析出含k（k+1）（2k+1）+6（k+1）²的情况．

解答：解：假设n=k时命题成立．
即：k（k+1）（2k+1）能被6整除．
当n=k+1时，（k+1）（k+2）（2k+3）
=（k+1）（k+2）（2k+1+2）
=（k+1）（k+2）（2k+1）+2（k+1）（k+2）
=k（k+1）（2k+1）+2（k+1）（2k+1）+2（k+1）（k+2）
=k（k+1）（2k+1）+6（k+1）²．
故选：C．

点评：本题考查数学归纳法，数学归纳法是证明一个与自然数集N相关的性质，其步骤为：设P（n）是关于自然数n的命题，若1）（奠基） P（n）在n=1时成立；2）（归纳） 在P（k）（k为任意自然数）成立的假设下可以推出P（k+1）成立，则P（n）对一切自然数n都成立．