Question

（2009•济宁一模）如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，所有的棱长都为2，∠A₁AC=60°
（Ⅰ）求证：A₁B⊥AC；
（Ⅱ）当三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积最大时，求平面A₁B₁C₁与平面ABC所成的锐角的余弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）取AC的中点O，连接A₁O，BO，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，所有棱长都为2，∠A₁AC=60°，则A₁O⊥AC，BO⊥AC，A₁O∩BO=O，由此能够证明AC⊥A₁B．
（Ⅱ）当三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积最大时，点A₁到平面ABC的距离最大，此时A₁O⊥平面ABC．设平面ABC与平面A₁B₁C的交线为l，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，A₁B₁∥AB，AB∥平面A₁B₁C，所以AB∥l．由此能够求出平面A₁B₁C与平面ABC所成锐角的余弦值．

解答：（Ⅰ）证明：取AC的中点O，连接A₁O，BO，
在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，
所有棱长都为2，∠A₁AC=60°，
则A₁O⊥AC，BO⊥AC，A₁O∩BO=O，…（2分）
所以AC⊥平面A₁BO而A₁B?平面A₁BO，
∴AC⊥A₁B．…（4分）
（Ⅱ）解：当三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积最大时，
点A₁到平面ABC的距离最大，
此时A₁O⊥平面ABC．…（6分）
设平面ABC与平面A₁B₁C的交线为l，
在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，A₁B₁∥AB，AB∥平面A₁B₁C，
∴AB∥l，…（8分）
过点O作OH⊥l交于点H，连接A₁H．由OH⊥l，A₁O⊥l知l⊥平面A₁OH，
∴l⊥A₁H，故∠A₁HO为平面A₁B₁C与平面ABC所成二面角的平面角．…（10分）
在Rt△OHC中，OC=

1

2

AC=1，∠OCH=∠BAC=60°，则OH=

3

2

，
在Rt△A₁OH中，A1O=2sin60°=

3

，A1H=

15

2

，cos∠A1HO=

OH

A1H

=

5

5

．…（12分）
即平面A₁B₁C与平面ABC所成锐角的余弦值为

5

5

．

点评：本题考查异面直线垂直的证明和平面A₁B₁C₁与平面ABC所成的锐角的余弦值．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，易出错．解题时要认真审题，注意合理地进行等价转化．