Question

14．设x₁，x₂，…，x₁₀为1，2，…，10的一个排列，则满足对任意正整数m，n，且1≤m＜n≤10，都有x_m+m≤x_n+n成立的不同排列的个数为512．

Answer 1

分析 利用归纳推理求出n的最大值分别为2，3，4时的排列个数，然后推出本题的结果．

解答 解：如果n=2时，满足题意的排列个数是2，即1，2或2，1；即2¹．
如果n的最大值为3，则排列个数为4；分别为：1，2，3；  2，1，3；1，3，2；3，2，1；4个．即2²．
如果n的最大值为4，则满足题意的排列个数为8；分别为：1，2，3，4；2，1，3，4；2，1，4，3；1，3，2，4；1，2，4，3，；3，1，2，4；1，4，3，2；4，3，2，1；共8个，即2³．
如果n的最大值为5，则满足题意的排列个数为16；分别为：1，2，3，4，5；2，1，3，4，5；2，1，4，3，5；2，1，3，5，4；2，1，5，4，3；1，2，4，3，5；1，2，3，5，4；1，2，5，4，3；1，3，2，4，5；1，3，2，5，4；1，4，3，2，5；1，5，4，3，2；3，2，1，4，5；3，2，1，5，4；4，3，2，1，5；5，4，3，2，1；即2⁴．
…
所以：设x₁，x₂，…，x₁₀为1，2，…，10的一个排列，则满足对任意正整数m，n，且1≤m＜n≤10，都有x_m+m≤x_n+n成立的不同排列的个数为：2⁹=512．
故答案为：512．

点评 本题考查排列组合的数据应用，归纳推理的应用，解题的关键是：1≤m＜n≤10，都有x_m+m≤x_n+n成立的理解，本题是难题．