Question

已知矩形ABCD，过A作SA⊥平面AC，再过A作AE⊥SB交于E，过E作EF⊥SC交SC于F.

(1)求证：AF⊥SC；

(2)若平面AEF交SD于G，求证：AG⊥SD.

Answer 1

解析：欲证AF⊥SC，只需证SC垂直于AF所在平面，即SC⊥平面AEF，由已知，欲证SC⊥平面AEF，只需证AE垂直于SC所在平面，即AE⊥平面SBC，再由已知只需证AE⊥BC，而要证AE⊥BC，只需证BC⊥平面SAB，而这可由已知得证.

证明：

(1)∵SA⊥平面AC，BC平面AC

∴SA⊥BC.∵矩形ABCD，∴AB⊥BC∴BC⊥平面SAB

∴BC⊥AE，又SB⊥AE

∴AE⊥平面SBC

∴AE⊥SC，又EF⊥SC

∴SC⊥平面AEF，∴AF⊥SC.

(2)∵SA⊥平面AC，∴SA⊥DC，又AD⊥DC

∴DC⊥平面SAD，∴DC⊥AG

又由(1)有SC⊥平面AEF，AG平面AEF

∴SC⊥AG，∴AG⊥平面SDC.∴AG⊥SD.