Question

在△ABC中，已知|BC|=4，BC的中点在坐标原点，点B的坐标是（-2，0），AB⊥AC，
（1）求动点A的轨迹方程；
（2）若直线l：mx-y+2m-2=0与点A的轨迹恰有一个公共点，求m的值；
（3）若（2）中m的值是函数 f（x）=x²+sinα•x+n的零点，求tan(

3π

2

-α)的值．

Answer 1

分析：（1）通过直线的垂直得到斜率的乘积是-1，化简可得动点A的轨迹方程；
（2）利用图象推出直线l：mx-y+2m-2=0与点A的轨迹恰有一个公共点，直接求m的值；
（3）通过（2）中m的值是函数 f（x）=x²+sinα•x+n的零点，通过α所在象限直接求tan(

3π

2

-α)的值即可．

解答：（14分）解：（1）由已知，C（2，0），设动点A的坐标为（x，y），
则直线AB、AC的斜率分别为kAB=

y

x+2

，kAC=

y

x-2

，
∵AB⊥AC，k_AC•k_AB=-1
∴

y

x+2

•

y

x-2

=-1，化简得x²+y²=4，由已知△ABC，有x≠±2，否则A、B、C共线，
∴动点的轨迹方程是：x²+y²=4（x≠±2）．
（2）直线l的方程即为m（x+2）-（y+2）=0，则它经过定点P（-2，-2），
∵直线l：mx-y+2m-2=0与点A的轨迹恰有一个公共点，
∴直线l经过点C（2，0）或点D（0，-2）（如图所示）
∴m（2+2）-（0+2）=0或m（0+2）-（-2+2）=0
解得m=

1

2

或m=0…（9分）
（3）∵m的值都是函数 f（x）=x²+sinα•x+n的零点
∴

1

2

和0是方程x²+sinα•x+n=0的解
∴

1

2

+0=-sinα，故sinα=-

1

2

…（10分）
①当α是第三象限角时，cosα=-

1-sin2α

=-

1-(- 1 2 )2

=-

3

2

，
∴tan(

3π

2

-α)=tan(

π

2

-α)=

sin( π 2 -α)

cos( π 2 -α)

=

cosα

sinα

=

- 3 2

- 1 2

=

3

…（12分）
②当α是第四象限角时，cosα=

3

2

∴tan(

3π

2

-α)=

cosα

sinα

=

3 2

- 1 2

=-

3

…（14分）．

点评：本题考查轨迹方程的求法，数形结合以及分类讨论思想的应用，考查分析问题解决问题的能力．