Question

设⊙C₁，⊙C₂，…，⊙C_n是圆心在抛物线y=x²上的一系列圆，它们圆心的横坐标分别记为a₁，a₂，…，a_n，已知a₁=

1

4

，a₁＞a₂＞…＞a_n＞0，若⊙C_k（k=1，2，3，…，n）都与x轴相切，且顺次两圆外切．
（1）求证：{

1

an

}是等差数列；
（2）求a_n的表达式；
（3）求证：a₁²+a₂²+…+a_n²＜

1

4

．

Answer 1

分析：（1）由题意知：⊙C_n：r_n=xn2=an2，⊙C_n-1 ；rn-1=an-12，根据两圆相外切的性质可知|C_n-1C_n|=r_n-1+r_n，根据两点间的距离公式整理可求

1

an

-

1

an-1

=2，根据等差数列的通项公式可求

1

an

进而可求a_n
（2）根据（1）可求

1

an

，进而可求a_n
（3）由

a

2 n

=

1

4

•

1

(n+1)2

＜

1

4

•

1

n(n+1)

=

1

4

(

1

n

-

1

n+1

)，利用裂项求和及不等式的放缩法可证

解答：（1）证明：由题意知：r_n=y_n=xn2=an2，rn-1=an-12
所以C_n-1（a_n-1，an-12），C_n（a_n，an2）…（2分）
∵|C_n-1C_n|=r_n-1+r_n，
∴

(an-1-an)2+(an-1-an2)2

=an-12+an2…（4分）
两边平方，整理得 (an-1-an)2=4an-12an2…（5分）
∵a_n-1＞a_n，
∴a_n-1-a_n=2a_n-1a_n…（6分）
∴

1

an

-

1

an-1

=2…（7分）
故{

1

an

}是以4为首项，公差为2的等差数列．…（8分）
（2）解：由（1）知，

1

an

=4+2(n-1)，
∴an=

1

2n+2

  …（10分）
（3）证明：∵

a

2 n

=

1

4

•

1

(n+1)2

＜

1

4

•

1

n(n+1)

…（11分）
=

1

4

(

1

n

-

1

n+1

)…（12分）
∴

a

2 1

+

a

2 2

+…+

a

2 n

=

n

k=1

1

4

(

1

k

-

1

k-1

)=

1

4

(1-

1

n+1

)=

1

4

-

1

4(n+1)

＜

1

4

…（14分）

点评：本题主要考查了圆的外切性质的应用，利用构造等差数列求解数列的通项公式及裂项求和方法的应用．