题目内容
在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴为非负半轴为极轴建立极坐标系，设⊙C的极坐标方程为ρ=2sinθ，点P为⊙C上一动点，点M的极坐标为
，点Q为线段PM的中点．
（1）求点Q的轨迹C1的方程；
（2）试判定轨迹C1和⊙C的位置关系，并说明理由．
解：（1）∵⊙C的极坐标方程为ρ=2sinθ，∴⊙C的直角坐标方程为x2+y2-2y=0，即x2+（y-1）2=1；
∵点M的极坐标为，∴直角坐标为（0，4）
设P（x0，y0），Q（x，y），则x02+（y0-1）2=1①
∵点Q为线段PM的中点，∴
代入①，可得点Q的轨迹C1的方程x2+（y-
）2=
；
（2）x2+（y-1）2=1的圆心坐标为（0，1），半径为1；x2+（y-）2=的圆心坐标为（0，），半径为
∴两圆圆心距为
，等于两圆半径和，所以两圆外切．
分析：（1）先确定⊙C的直角坐标方程，再利用点Q为线段PM的中点，求得坐标之间的关系，利用代入法，即可求得点Q的轨迹C1的方程；
（2）确定圆心坐标，利用两圆圆心距为等于两圆半径和，可得结论．
点评：本题考查代入法求轨迹方程，考查圆与圆的位置关系，考查学生的计算能力．
∵点M的极坐标为
，∴直角坐标为（0，4）设P（x0，y0），Q（x，y），则x02+（y0-1）2=1①
∵点Q为线段PM的中点，∴
代入①，可得点Q的轨迹C1的方程x2+（y-
）2=；（2）x2+（y-1）2=1的圆心坐标为（0，1），半径为1；x2+（y-
）2=的圆心坐标为（0，），半径为∴两圆圆心距为
，等于两圆半径和，所以两圆外切．分析：（1）先确定⊙C的直角坐标方程，再利用点Q为线段PM的中点，求得坐标之间的关系，利用代入法，即可求得点Q的轨迹C1的方程；
（2）确定圆心坐标，利用两圆圆心距为等于两圆半径和，可得结论．
点评：本题考查代入法求轨迹方程，考查圆与圆的位置关系，考查学生的计算能力．
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