Question

（本题满分14分）已知数列中，，，其前项和满足（，）．

（Ⅰ）求证：数列为等差数列，并求的通项公式；

（Ⅱ）设， 求数列的前项和 ；

（Ⅲ）设（为非零整数，），试确定的值，使得对任意，有恒成立．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）． （Ⅱ）

（Ⅲ）存在，使得对任意，都有．

【解析】

试题分析：（1）利用数列的前n项和与通项a_n之间的关系，求出该数列的通项公式是解决本题的关键；注意分类讨论思想的运用；

（2）利用第一问中所求的公式表示出数列{b_n}的通项公式，根据数列的通项公式选择合适的方法----错位相减法求出数列{b_n}的前n项和T_n．

（3）要使得即为，对于n分为奇数和偶数来得到。

解：（Ⅰ）由已知，（，），

即（，），且．

∴数列是以为首项，公差为1的等差数列．∴． …………4分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知  它的前项和为

（Ⅲ）∵，∴，

     

          ∴恒成立，

          ∴恒成立．

（ⅰ）当为奇数时，即恒成立当且仅当时，有最小值为1，∴．

（ⅱ）当为偶数时，即恒成立当且仅当时，有最大值，∴．即，又为非零整数，则．

   综上所述，存在，使得对任意，都有．…………14分

考点：本试题主要考查了数列的前n项和与通项a_n之间的关系，考查等差数列的判定，考查学生分类讨论思想．运用数列的通项公式选取合适的求和方法求出数列{b_n}的前n项和，体现了化归思想．

点评：解决该试题的关键是能将已知中前n项和关系式，通过通项公式与前n项和的关系得到通项公式的求解，并合理选用求和方法得到和式。