Question

1．已知实数x，y满足（x-1）²+（y-4）²=1，求$\frac{xy-x}{{x}^{2}+（y-1）^{2}}$的取值范围．

Answer 1

分析 分x=0与x≠0两种情况讨论，当x≠0时，利用换元法及直线与圆的位置关系即可．

解答 解：当x=0时，$\frac{xy-x}{{x}^{2}+（y-1）^{2}}$=0；
当x≠0时，$\frac{xy-x}{{x}^{2}+（y-1）^{2}}$=$\frac{1}{\frac{y-1}{x}+\frac{x}{y-1}}$，
∵动点落在（x-1）²+（y-4）²=1上，
∴可令x=1+cosθ，y=4+sinθ，
令$\frac{y-1}{x}$=t，则t=$\frac{4+sinθ-1}{1+cosθ}$=$\frac{sinθ-（-3）}{cosθ-（-1）}$，
即t表示经过圆x²+y²=1与定点（-1，-3）的直线l的斜率，
设直线l的方程为：tx-y+t-3=0，
由1=$\frac{|t-3|}{\sqrt{{t}^{2}+1}}$，解得t=$\frac{4}{3}$，
∴t=$\frac{y-1}{x}$∈[$\frac{4}{3}$，+∞），
∴$\frac{y-1}{x}$+$\frac{x}{y-1}$≥$\frac{25}{12}$，当且仅当y=±x-1时等号成立，
∴0＜$\frac{1}{\frac{y-1}{x}+\frac{x}{y-1}}$≤$\frac{12}{25}$，
综上所述，0≤$\frac{xy-x}{{x}^{2}+（y-1）^{2}}$≤$\frac{12}{25}$．

点评 本题考查分类讨论的思想，考查直线与圆的位置关系，考查换元法，注意解题方法的积累，属于中档题．