Question

（2011•重庆模拟）已知抛物线y²=2px（p＞0）与椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1有相同的焦点F，点A是两曲线的交点且A到抛物线准线的距离为p，则椭圆的离心率为（　　）

• A．3+2

  2

• B．3-2

  2

• C．

  2

  -1
• D．

  2

  +1

Answer 1

分析：由抛物线的定义可得A到抛物线的焦点F的距离为p，故AF垂直于x轴，把x=

p

2

代入y²=2px解得点A的坐标，
再由椭圆的定义求得椭圆的离心率e=

c

a

的值．

解答：解：由题可得图，设椭圆另一焦点为E，因为抛物线y²=2px（p＞0）的焦点F（

p

2

，0）．
由抛物线的定义可得A到抛物线的焦点F的距离为p，故AF垂直于x轴．
把x=

p

2

代入y²=2px解得y=±p，
所以A（

p

2

，p），
又E（-

p

2

，0），
故|AE|=

( p 2 + p 2 )2+p2

=

2

p，|AF|=p，
|EF|=p．
所以，由椭圆的定义可得  2a=|AE|+|AF|=
（

2

+1）p，2c=p．
椭圆的离心率e=

c

a

=

2c

2a

=

2

-1．
故选C．

点评：本题主要考查抛物线、椭圆的定义、标准方程，以及它们的简单性质的应用，在做圆锥曲线问题时，用定义
来解题是比较常用的方法，属于中档题．