Question

【题目】已知函数f（x）=log4（4x+1）+kx与g（x）=log4（a2x﹣a），其中f（x）是偶函数．

（1）求实数k的值；

（2）求函数g（x）的定义域；

(3)若函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个公共点，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）（2）见解析（3）{a|a＞1或a=﹣3}．

【解析】试题分析：（1）由偶函数定义得f（﹣x）=f（x），根据对数运算法则化简可得2k=﹣1，即得实数k的值；（2）解含参数不等式，一般方法为先分解因式，再讨论各因子符号，即得函数g（x）的定义域；（3）先根据对数运算法则化简方程f（x）=g（x），去掉对数，再设2x=t，转化为类二次方程有正解情况，分一次方程，二次方程中分二个相同正根与一个正根一个负根依次讨论，最后求并集得实数a的取值范围．

试题解析：解：（I）f（x）的定义域为R，

∵f（x）=log4（4x+1）+kx是偶函数，

∴f（﹣x）=f（x）恒成立，

即log4（4﹣x+1）﹣kx=log4（4x+1）+kx恒成立，

∴log4=2kx，即log4=2kx，

∴42kx=4﹣x，∴2k=﹣1，即k=﹣．

（II）由g（x）有意义得a2x﹣＞0，即a（2x﹣）＞0，

当a＞0时，2x﹣＞0，即2x＞，∴x＞log2，

当a＜0时，2x﹣＜0，即2x＜，∴x＜log2．

综上，当a＞0时，g（x）的定义域为（log2，+∞），

当a＜0时，g（x）的定义域为（﹣∞，log2）．

（III）令f（x）=g（x）得log4（4x+1）﹣x=log4（a2x﹣），

∴log4=log4（a2x﹣），即2x+=a2x﹣，

令2x=t，则（1﹣a）t2+at+1=0，，

∵f（x）与g（x）的图象只有一个交点，

∴f（x）=g（x）只有一解，∴关于t的方程（1﹣a）t2+at+1=0只有一正数解，

（1）若a=1，则+1=0，t=﹣，不符合题意；

（2）若a≠1，且﹣4（1﹣a）=0，即a=或a=﹣3．

当a=时，方程（1﹣a）t2+at+1=0的解为t=﹣2，不符合题意；

当a=﹣3时，方程（1﹣a）t2+at+1=0的解为t=，符合题意；

（3）若方程（1﹣a）t2+at+1=0有一正根，一负根，则＜0，∴a＞1，

综上，a的取值范围是{a|a＞1或a=﹣3}．