Question

已知数列{a_n}和{b_n}满足：，其中λ为实数，n为正整数．
（Ⅰ）若数列{a_n}前三项成等差数列，求的值；
（Ⅱ）试判断数列{b_n}是否为等比数列，并证明你的结论；
（Ⅲ）设0<a<b，S_n为数列{b_n}的前n项和．是否存在实数λ，使得对任意正整数n，都有a<S_n<b?若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

(1)  
(2) λ≠-6时，数列｛b_n｝是以－(λ＋6)为首项，－为公比的等比数列.
(3) λ的取值范围是（－b－6, －3a－6）

试题分析：（Ⅰ）证明：，
由条件可得，所以  （4分）
(Ⅱ)解：因为b_n+1=(-1)ⁿ⁺¹［a_n+1-3(n-1)+9］=(-1)ⁿ⁺¹(a_n-2n+6)
=(-1)ⁿ·（a_n-3n+9）=-b_n
又b₁=,所以
当λ＝－6时，b_n=0(n∈N⁺),此时｛b_n｝不是等比数列，
当λ≠－6时，b₁=≠0,由上可知b_n≠0，∴(n∈N⁺).
故当λ≠-6时，数列｛b_n｝是以－(λ＋6)为首项，－为公比的等比数列. （10分）
(Ⅲ)由（Ⅱ）知，当λ=-6,b_n=0,S_n=0,不满足题目要求.
∴λ≠-6，故知b_n= －(λ+6)·(－)^n-1，于是可得
S_n=
要使a<S_n<b对任意正整数n成立，
即a<-(λ+6)·［1－（－）ⁿ］<b(n∈N⁺)
   ①
当n为正奇数时，1<f(n)
∴f(n)的最大值为f(1)=,f(n)的最小值为f(2)= ,
于是，由①式得a<-(λ+6)<
当a<b3a时，由－b－6－3a－6，不存在实数满足题目要求；
当b>3a时存在实数λ，使得对任意正整数n,都有a<S_n<b,
且λ的取值范围是（－b－6, －3a－6）  （16分）
点评：熟练的根据等差数列和等比数列的定义和求和来求解，属于中档题。