题目内容
设函数f（x）=
（a，b为常数，a≠0），若f（1）=
，且f（x）=x只有一个实数根．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若数列{an}满足关系式：an=f（an-1）（n∈N且n≥2），又
，证明数列{
}是等差数列并求{an}的通项公式．
（Ⅰ）解：由f（1）=，可得a+b=3，…①
又由f（x）-x=0得：x[ax-（1-b）]=0，
∵方程只有一个实数根，∴
…②
由①②得：a=2，b=1，
则f（x）=
（Ⅱ）证明：由an=f（an-1）得：an=
∴
∴{}是首项为-2005，公差为2的等差数列，
∴=-2005+2（n-1）=2n-2007
∴an=
分析：（Ⅰ）由f（1）=，可得a+b=3，根据f（x）-x=0只有一个实数根，可得，从而可求函数解析式；
（Ⅱ）由an=f（an-1）得：an=，从而可得，由此可得{}是首项为-2005，公差为2的等差数列，从而可求数列的通项．
点评：本题考查数列的通项，考查函数的解析式，考查等差数列的证明，确定函数的解析式是关键．
，可得a+b=3，…①又由f（x）-x=0得：x[ax-（1-b）]=0，
∵方程只有一个实数根，∴
…②由①②得：a=2，b=1，
则f（x）=
（Ⅱ）证明：由an=f（an-1）得：an=
∴
∴{
}是首项为-2005，公差为2的等差数列，∴
=-2005+2（n-1）=2n-2007∴an=
分析：（Ⅰ）由f（1）=
，可得a+b=3，根据f（x）-x=0只有一个实数根，可得，从而可求函数解析式；（Ⅱ）由an=f（an-1）得：an=
，从而可得，由此可得{}是首项为-2005，公差为2的等差数列，从而可求数列的通项．点评：本题考查数列的通项，考查函数的解析式，考查等差数列的证明，确定函数的解析式是关键．
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