Question

已知函数f（x）=（sinx+cosx）²+2cos²x，
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递减区间；
（2）当x∈[0，]时，求f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用三角函数的恒等变换公式化简f（x）的解析式为y=Asin（ωx+φ）+B的基本形式，由此求得函数f（x）最小正周期，再由正弦函数的递减区间求出减区间；
（2）由x的范围求出的范围，再由正弦函数的性质求出f（x）的值域，以及最值，
解答：解 （Ⅰ）由题设得：f（x）=（sinx+cosx）²+2cos²x=1+sin2x+2cos²x
=sin2x+cos2x+2=，
∴f（x）的最小正周期为π，
令（k∈Z）得，≤x≤，k∈z
∴f（x）的单调递减区间为[，]（k∈Z）．
（Ⅱ）∵x∈[0，]，∴，
∴，
∴，
∴当x=时，f（x）取到最小值为1，当x=时，f（x）取到最大值为2+．
点评：本题主要考查正弦函数的性质的应用，以及三角函数的恒等变换及化简求值，三角函数的周期性、单调区间和值域的求法，考查了整体思想．