Question

（2012•江西模拟）在△ABC中，AC=6，BC=7，cosA=

1

5

，O是△ABC的内心，若

OP

=x

OA

+y

OB

，其中0≤x≤1，0≤y≤1，动点P的轨迹所覆盖的面积为（　　）

• A．

  10

  3

  6

• B．

  5

  3

  6

• C．

  10

  3

• D．

  20

  3

Answer 1

分析：由

OP

=x

OA

+y

OB

，0≤x≤1，0≤y≤1，知动点P的轨迹为以OA，OB为邻边的平行四边形内部（含边界），由AC=6，BC=7，cosA=

1

5

，利用余弦定理解得AB=5，sinA=

2 6

5

，由此能求出动点P的轨迹所覆盖的面积．

解答：解：∵

OP

=x

OA

+y

OB

，0≤x≤1，0≤y≤1，
∴动点P的轨迹为以OA，OB为邻边的平行四边形ADBO的内部（含边界），
∵AC=6，BC=7，cosA=

1

5

，
BC²=AC²+AB²-2AB×AC×cosA
∴49=36+AB²-2×6×AB×

1

5

，
∴5AB²-12AB-65=0
  解得：AB=5
  sinA=

1-cos2A

=

2 6

5

，
∴S_△ABC=

1

2

×6×5×

2 6

5

=6

6

，
设△ABC内切圆半径为r，则

1

2

（5+6+7）r=6

6

，
∴r=

2 6

3

，
∴S_△AOB=

1

2

×AB×r=

1

2

×5×

2 6

3

=

5 6

3

，
∴动点P的轨迹所覆盖的面积为：2S_△AOB=

10 6

3

．
故选A．

点评：本题考查动点的轨迹所覆盖的面积的求法，解题时要认真审题，注意余弦定理、三角函数性质的灵活运用．