Question

已知A，B是椭圆长轴的两个端点，M，N是椭圆上关于x轴对称的两点，直线AM，BN的斜率分别为k₁，k₂（k₁k₂≠0），若椭圆的离心率为，则|k₁|+|k₂|的最小值为

1. A.
   1
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   2

Answer 1

A
分析：先假设出点M，N，A，B的坐标，然后表示出两斜率的关系，再由|k₁|+|k₂|的最小值为1运用基本不等式的知识可得到当x₀=0时可取到最小值，进而找到a，b，c的关系，进而可求得离心率的值．
解答：设M（t，s），N（t，-s），t∈[0，a]，s∈[0，b]，A（-a，0），B（a，0），
k₁=，k₂=-
|k₁|+|k₂|=||+|-|≥2=2
当且仅当=-，即t=0时等号成立．
因为A，B是椭圆长轴的两个端点，M，N是椭圆上关于x轴对称的两点，M（t，s），N（t，-s），即s=b
∴|k₁|+|k₂|的最小值为，
∵椭圆的离心率为，∴，
∴a=2b
∴|k₁|+|k₂|的最小值为1
故选A．
点评：本题主要考查椭圆的基本性质和基本不等式的应用．圆锥曲线是高考的重点问题，基本不等式在解决最值时有重要作用，所以这两方面的知识都很重要，一定要强化复习．