Question

已知A、B是椭圆长轴的两个端点，M，N是椭圆上关于x轴对称的两点，直线AM，BN的斜率分别为k₁，k₂，且k₁k₂≠0．若|k₁|+|k₂|的最小值为1，则椭圆的离心率（ ）
A．
B．
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：先假设出点M，N，A，B的坐标，然后表示出两斜率的关系，再由|k₁|+|k₂|的最小值为1运用基本不等式的知识可得到当x=0时可取到最小值，进而找到a，b，c的关系，进而可求得离心率的值．
解答：解：设M（x，y），N（x，-y），A（-a，0），B（a，0）
k₁=，k₂=
|k₁|+|k₂|=||+||=2=1
当且仅当=，即x=0，y=b时等号成立
∴2=2=1∴a=2b
又因为a²=b²+c²∴c=
∴e=
故选C．
点评：本题主要考查椭圆的基本性质和基本不等式的应用．圆锥曲线是高考的重点问题，基本不等式在解决最值时有重要作用，所以这两方面的知识都很重要，一定要强化复习．