Question

若二次函数y＝－x²＋mx－1的图象与两端点为A(0，3)，B(3，0)的线段AB有两个不同的交点，求m的取值范围．

Answer 1

答案：
解析：

解：线段AB的方程为x＋y＝3(0≤x≤3)，由题意得方程组 　　 　　有两组实解，①代入②得x2－(m＋1)x＋4＝0(0≤x≤3)有两个实根， 　　令f(x)＝x2－(m＋1)x＋4． 　　因此问题转化为二次函数f(x)＝x2－(m＋1)x＋4在x∈[0，3]上有两个实根，故有 　　 　　故m的取值范围是(3，]． 　　点评：本题解法体现了函数与方程的思想：从列方程(组)开始，通过消元得到一元方程，对这个方程根的研究转化为二次函数f(x)在[0，3]的实根，又转化为二次函数f(x)在[0，3]上与x轴有两个交点的问题，最后建立m的不等式组求出m，整个解题过程充满了对函数、方程和不等式的研究和转化，充分体现了函数与方程思想的应用． 　　本题在得到方程－x2＋(m＋1)x－4＝0(0≤x≤3)有了两个实根后，还可用下列函数思想求解． 　　∵x＝0不是方程的根，∴x≠0． 　　∴两边同除以x得m＝＋x－1，x∈(0，3]． 　　其与x轴有两个交点． 　　∵设函数μ＝x＋－1，其在(0，2]为减函数，∴μ≥3，当x∈[2，3]时为增函数，∴3≤μ≤，即3≤m≤．

提示：

先求出线段AB的方程，之后将图象交点问题转化为求方程组的解的问题，再将方程组解的问题转化为二次函数在区间上有零点的问题，通过不等式组求得m的范围．