题目内容

已知函数 $数学公式$ （a＞0，c∈R）为奇函数，当x＞0时，f（x）的最小值为2．
（I）求函数的解析式
（Ⅱ）若a+b=1，a、b∈R⁺，求证： $数学公式$
（Ⅲ）若g（x）=f（x）-x，n∈N^*且n≥2，求证： $数学公式$ ．

解：（I）由函数 $\text{[math]}$ （a＞0，c∈R）为奇函数，
可得f（-x）= $\text{[math]}$ =-f（x）=- $\text{[math]}$
∴-x+c=-x-c
∴c=0
∴ $\text{[math]}$
再由x＞0时， $\text{[math]}$ ≥ $\text{[math]}$ ，
∵f（x）的最小值为2，得2 $\text{[math]}$ =2，?a=1，
故 $\text{[math]}$ （x≠0）…（4分）
（Ⅱ）欲证原不等式成立，
需证： $\text{[math]}$ ．
因为 a+b=1，即证： $\text{[math]}$ ，
再由a+b=1，a、b∈R⁺， $\text{[math]}$ ，故 $\text{[math]}$ ，
令t=ab，考察函数y=t+ $\text{[math]}$ ，它在区间（0， $\text{[math]}$ ]上是单调减函数，当t= $\text{[math]}$ 时，y= $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，
从而原不等式成立．…（8分）
（学生用其它方法参照给分）
（Ⅲ） $\text{[math]}$ ，需证： $\text{[math]}$
一方面：
$\text{[math]}$
…（10分）
另一方面： $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$
综上 $\text{[math]}$ ．
…（14分）
分析：（I）先根据函数为奇函数即f（-x）=-f（x）求得c=0，进而根据均值不等式求得函数f（x）的最小值的表达式，结果为2求得a，进而求得函数f（x）的解析式；
（II）利用分析法进行证明．欲证原不等式成立，只需证： $\text{[math]}$ ．因为 a+b=1，即证： $\text{[math]}$ ，令t=ab，考察函数y=t+ $\text{[math]}$ ，结合此函数在区间（0， $\text{[math]}$ ]上是单调减函数即得；
（III）用分析法证明．分析得出只需证： $\text{[math]}$ ，下面从而左右两个方面进行证明即可．
点评：本题主要考查了函数的奇偶性的应用，均值不等式的应用，不等式的证明及函数的单调性．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．