Question

设抛物线C：y²=2px（p＞0）焦点为F，其准线与x轴的交点为Q，过点F作直线交抛物线C于A、B两点，若∠QBF=90°，则|AF|-|BF|=

2p

．

Answer 1

分析：先假设方程与抛物线方程联立，借助于求出点A的坐标，从而求出线段长，进而求出|AF|-|BF|．

解答：解：设AB方程为：y=k（x-

p

2

）（假设k存在），与抛物线y²=2px（p＞0）联立得k²（x²-px+

p2

4

）=2px，
即k²x²-（k²+2）px+

(kp)2

4

=0
设两交点为A（x₂，y₂），B（x₁，y₁），∠QBF=90°即（x₁-

p

2

）（x₁+

p

2

）+y₁²=0，
∴x₁²+y₁²=

p2

4

，∴x₁²+2px₁-

p2

4

=0，即（x₁+p）²=

5

4

p²，解得x₁=

-2+ 5

2

p，
∴B（

-2+ 5

2

p，

-2+ 5

p），|BQ|=

-1+ 5

2

p，|BF|=

-1+ 5

2

p，
∵x₁x₂=

p2

4

，x₁=

-2+ 5

2

p，
∴x₂=

2+ 5

2

p
∴A（

2+ 5

2

p，-

2+ 5

p），|AF|=

3+ 5

2

p，
∴|AF|-|BF|=2p，
故答案为：2p．

点评：直线与曲线相交问题，通常是联立方程组成方程组，从而可求相关问题．新课标中，椭圆通常作为压轴题放在解答题中，因此填空题考查的一般都是双曲线和抛物线的定义，比较新颖同时难度不是很高，符合高考命题的要求．