Question

选修4-5：不等式选讲
已知函数f（x）=|x+1|+|x-3|
（Ⅰ）求不等式f（x）≤6的解集；
（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≤|2a-1|的解集非空，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）函数f（x）表示数轴上的x对应点到-1和3对应点的距离之和，而数轴上的-2、4对应点到-1和3对应点的距离之和正好等于6，由此可得不等式f（x）≤6的解集．
（Ⅱ）由于关于x的不等式f（x）≤|2a-1|的解集非空，函数f（x）的最小值为4，可得|2a-1|≥4，由此解得a的范围．

解答：解：（Ⅰ）函数f（x）=|x+1|+|x-3|表示数轴上的x对应点到-1和3对应点的距离之和，
而数轴上的-2、4对应点到-1和3对应点的距离之和正好等于6，
故不等式f（x）≤6的解集为[-2，4]．
（Ⅱ）由于关于x的不等式f（x）≤|2a-1|的解集非空，函数f（x）=|x+1|+|x-3|表示数轴上的x对应点到-1和3对应点的距离之和，f（x）的最小值为4，
∴|2a-1|≥4，∴2a-1≥4，或2a-1≤-4，解得a≥

5

2

，或a≤-

3

2

，
故所求的a的范围为[

5

2

，+∞）∪（-∞，-

3

2

]．

点评：本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，体现了等价转化的数学思想，属于中档题．