题目内容

已知锐角△ABC中的三个内角分别为A、B、C．
（1）设
BC
•
CA
=
CA
•
AB
，∠A=
5π
12
，求△ABC中∠B的大小；
（2）设向量
s
=(2sinC，  -
3
)，
t
=(cos2C，  2cos2
C
2
-1)，且
s
∥
t
，若sinA=
2
3
，求sin(
π
3
-B)的值．
分析：（1）利用
BC
•
CA
=
CA
•
AB
，推出
AB
2-
.
BC
2=0，得到△ABC为等腰三角形． 再由∠A=
5π
12
，能求出∠B=
π
6
．
（2）利用
s
∥
t
，求出C的值，通过sinA=
2
3
，求出cosA，然后利用两角差的正弦函数求sin（
π
3
-B）的值．
解答：解：（1）因为
BC
•
CA
=
CA
•
AB
，
所以
CA
•(
BC
-
AB
)=0，
又
AB
+
BC
+
CA
=0，
所以
CA
=-（
AB
+
BC
），所以-（
AB
+
BC
）•（
BC
-
AB
）=0，
所以
AB
2-
.
BC
2=0，
所以|
AB
|2=|
BC
|2，即|
AB
|=|
BC
|，
故△ABC为等腰三角形． 
因为∠A=
5π
12
，所以∠B=
1
2
(π-
5π
12
)=
7π
24
．
（2）∵
s
=(2sinC，  -
3
)，
t
=(cos2C，  2cos2
C
2
-1)，且
s
∥
t
，
∴2sinC（2cos2
C
2
-1）=-
3
cos2C，
∴sin2C=-
3
cos2C，即tan2C=-
3
，
∵C为锐角，∴2C∈（0，π），
∴2C=
2π
3
，∴C=
π
3
．
∴A=
2π
3
-B，
∴sin（
π
3
-B）=sin[（
2π
3
-B）-
π
3
]=sin（A-
π
3
）．
又sinA=
2
3
，且A为锐角，∴cosA=
5
3
，
∴sin（
π
3
-B）=sin（A-
π
3
）
=sinAcos
π
3
-cosAsin
π
3

=
2
3
×
1
2
-
5
3
×
3
2
=
2-
15
6
．
点评：本题考查向量的数量积与向量的平行的应用，两角和与差的三角函数，注意角的范围的确定是解题的关键，考查计算能力．
练习册系列答案
相关题目
已知锐角△ABC中的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，定义向量
m
=(2sinB，-
3
)，
n
=(cos2B，2cos2
B
2
-1)且
m
∥
n
．
（1）求函数f（x）=sin2xcosB-cos2xsinB的单调递增区间；
（2）如果b=2，求△ABC的面积的最大值．
已知锐角△ABC中的三个内角分别为A，B，C．
（1）设
BC
•
CA
=
CA
•
AB
，求证：△ABC是等腰三角形；
（2）设向量
s
=（2sinC，-
3
），
t
=（cos2C，2cos2
C
2
-1），且
s
∥
t
，若sinA=
2
3
，求sin（
π
3
-B）的值．
（2011•许昌三模）已知向量
a
=(
1
2
，
1
2
sinx+
3
2
cosx)与 
b
=(1，y)共线，设函数y=f（x）．
（1）求函数f（x）的周期及最大值；
（2）已知锐角△ABC中的三个内角分别为A、B、C，若有f(A-
π
3
)=
3
，边BC=
7
，sinB=
21
7
，求△ABC的面积．
已知锐角△ABC中的三个内角分别为A，B，C．
（1）设
BC
•
CA
=
CA
•
AB
，求证△ABC是等腰三角形；
（2）设向量
s
=(2sinC，-
3
)，
t
=(cos2C，2cos2
C
2
-1)，且
s
∥
t
，若sinA=
12
13
，求sin(
π
3
-B)的值．
（2013•烟台二模）已知锐角△ABC中的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，定义向量
m
=（2sinB，
3
），
n
=(2cos2
B
2
-1，cos2B)，且
m
⊥
n
，
（1）求f（x）=sin2xcosB-cos2xsinB的单调减区间；
（2）如果b=4，求△ABC面积的最大值．

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