Question

已知椭圆中心为O，右顶点为M，过定点D（t，0）（t≠±2）作直线l交椭圆于A、B两点．
（1）若直线l与x轴垂直，求三角形OAB面积的最大值；
（2）若，直线l的斜率为1，求证：∠AMB=90°；
（3）在x轴上，是否存在一点E，使直线AE和BE的斜率的乘积为非零常数？若存在，求出点E的坐标和这个常数；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）当直线l与x轴垂直，可知A，B点的横坐标都为t，把x=t代入椭圆方程，即可求出，纵坐标，再利用面积公式，就可把三角形OAB的面积用含t的式子表示，再用均值不等式求出最大值即可．
（2）当，直线l的斜率为1时，可得直线l的方程，与椭圆方程联立，求出A，B点的横坐标之和与之积，再通过判断直线MA，MB斜率之积是否等于-1，来证明直线MA，MB垂直，：∠AMB=90°．
（3）先假设在x轴上，存在一点E，使直线AE和BE的斜率的乘积为非零常数．设直线方程为：y=k（x-t），
与椭圆方程联立，求出x₁+x₂，x₁x₂，带着参数t计算直线AE和BE的斜率的乘积，看是否为非零常数，即可得到假设是否正确．
解答：解：（1）设直线l与椭圆的交点坐标为A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）．
把x=t代入可得：，
则，当且仅当时取等号    
（2）由得125x²-240x+44=0，，
所以 =
==∠AMB=90°         
（3）当直线l与x轴不垂直时，可设直线方程为：y=k（x-t），
由消去y整理得（4k²+1）x²-8k²tx+4k²t²-4=0
则①又 ②
若存在定点E（m，0）符合题意，且k_AE×k_BE=s（s为非零常数），则
把①、②式代入上式整理得k²[4s（t-m）²-（t²-4）]+s（m²-4）=0（其中m、t、s都是常数）
要使得上式对变量k（k≠0）恒成立，当且仅当，解得m=±2
当m=2时，定点E就是椭圆的右顶点（2，0），此时，；
当m=-2时，定点E就是椭圆的左顶点（-2，0），此时，；  
当直线l与x轴垂直时，由，解得两交点坐标为，
可验证：或
所以，存在一点E（2，0）（或（-2，0）），使直线AE和BE的斜率的乘积为非零常数（或）．
点评：本题主要考查了直线与椭圆的位置关系的判断，属于常规题