Question

如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1．
（1）求直线BC₁和B₁D₁所成角的大小；
（2）求直线BC₁和平面B₁D₁DB所成角的大小．

Answer 1

分析：（1）以D为坐标原点，直线DA、DC、DD₁分别x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，分别求出直线BC₁和B₁D₁的方向向量，代入向量夹角公式，即可求出直线BC₁和B₁D₁所成角的大小；
（2）结合（1）的结论，再求出平面B₁D₁DB的法向量，代入向量夹角公式，即可求出直线BC₁和平面B₁D₁DB所成角的大小．

解答：解：（1）如图，以D为坐标原点，直线DA、DC、DD₁分别x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系．
则D₁（0，0，1），B₁（1，1，1），B（1，1，0），C₁（0，1，1），

B1D1

=(-1， -1，0)，

BC1

=(-1， 0，1)．…（3分）
因为 cos?

B1D1

，

BC1

＞=

B1D1 • BC1

| B1D1 || BC1 |

=

1

2

，…（5分）
所以直线BC₁和B₁D₁所成角的大小为60°．…（6分）
（2）连接A₁C₁，记A₁C₁∩B₁D₁=O，连接OB．
因为A₁C₁⊥B₁D₁，A₁C₁⊥B₁B，
所以A₁C₁⊥平面B₁D₁DB，
从而∠OBC₁是直线BC₁与平面B₁D₁DB所成的角．…（9分）
易知O(

1

2

，

1

2

，1)，从而

BO

=(-

1

2

，-

1

2

，1)，
因为 cos?

BO

，

BC1

＞=

B1O • BC1

| B1O || BC1 |

=

3

2

，
所以直线BC₁与平面B₁D₁DB所成角的大小是30°．…（12分）

点评：本题考查的知识点是直线与平面所成的角，异面直线及其所成的角，在使用向量法解答线线夹角及线面夹角，关键是建立恰当的空间坐标系，将线面夹角，线线夹角问题转化为向量夹角问题．