Question

12．已知函数f（x）=x（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{{2}^{x}+1}$），则方程f（x-1）=f（x²-2x+1）的所有实根构成的集合的元素个数为3．

Answer 1

分析 由题意可判断函数f（x）是R上的偶函数，且可判断在[0，+∞）上是增函数；从而可得x-1=x²-2x+1或x-1=-（x²-2x+1），从而解得．

解答 解：∵f（x）=x（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{{2}^{x}+1}$），
∴f（-x）=（-x）（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{{2}^{-x}+1}$）
=x（$\frac{1}{{2}^{-x}+1}$-$\frac{1}{2}$）=x（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{{2}^{x}+1}$）=f（x），
∴函数f（x）=x（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{{2}^{x}+1}$）是R上的偶函数，
∵f′（x）=（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{{2}^{x}+1}$）+$\frac{x•{2}^{x}•ln2}{（{2}^{x}+1）^{2}}$，
∴当x≥0时，f′（x）≥0；
故函数f（x）在[0，+∞）上是增函数；
∵f（x-1）=f（x²-2x+1），
∴x-1=x²-2x+1或x-1=-（x²-2x+1），
故x=1或x=2或x=0，
故答案为：3．

点评 本题考查了导数的综合应用及函数的性质的判断与应用．