Question

2．x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]时，函数y=3-sinx-2cos²x的值域为[$\frac{7}{8}$，2]．

Answer 1

分析 根据同角三角函数的基本关系公式，将函数解析式化为y=2sin²x-sinx+1，x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]，令t=sinx，结合二次函数的图象和性质，可得答案．

解答 解：y=3-sinx-2cos²x=2sin²x-sinx+1，x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]，
令t=sinx，则t∈[-$\frac{1}{2}$，1]，y=2t²-t+1，
由y=2t²-t+1的图象是开口朝上，且以直线t=$\frac{1}{4}$为对称轴的抛物线，
故当t=$\frac{1}{4}$时，y取最小值$\frac{7}{8}$，当t=-$\frac{1}{2}$，或t=1时，y取最大值2，
故函数的值域为[$\frac{7}{8}$，2]，
故答案为：[$\frac{7}{8}$，2]．

点评 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，正弦函数的图象和性质，同角三角函数的基本关系公式，难度中档．