Question

数列1，1，2，3，5，8，13，21，…最初是由意大利数学家斐波拉契于1202年研究兔子繁殖问题中提出来的，称之为斐波拉契数列．又称黄金分割数列．后来发现很多自然现象都符合这个数列的规律．某校数学兴
趣小组对该数列探究后，类比该数列各项产生的办法，得到数列{a_n}：1，2，1，6，9，10，17，…，设数
列{a_n}的前n项和为S_n．
（1）请计算a₁+a₂+a₃，a₂+a₃+a₄，a₃+a₄+a₅．并依此规律求数列{a_n}的第n项a_n=

 

．
（2）S_3n+1=

 

．（请用关于n的多项式表示，其中1²+2²+3²+…+n²=

n(n+1)(2n+1)

6

）

Answer 1

考点：进行简单的合情推理,归纳推理

专题：综合题,点列、递归数列与数学归纳法,推理和证明

分析：（1）由题意得a₁=1，a₂=2，a₃=1，a₄=6，a₅=9，a₆=10，a₇=17，…，计算：a₁+a₂+a₃=4，a₂+a₃+a₄=9，a₃+a₄+a₅=16，…，可归纳得数列{a_n}满足的递推关系式为a_n+a_n+1+a_n+2=（n+1）²，进而得到a_n+3-a_n=2n+3．即可得出a_n=

1 n=1，2 an-1+an-2 n≥3

．
（2）由a_n+a_n+1+a_n+2=（n+1）²，可得a₁+a₂+a₃=（1+1）²，a₄+a₅+a₆=（4+1）²，a₇+a₈+a₉=（7+1）²，…，a_3n-2+a_3n-1+a_3n=（3n-1）²=9n²-6n+1，
得到S_3n=（a₁+a₂+a₃）+（a₄+a₅+a₆）+（a₇+a₈+a₉）+…+（a_3n-2+a_3n-1+a_3n）=9（1²+2²+…+n²）-6（1+2+…+n）+n．由a_n+3-a_n=2n+3得：a₄-a₁=2×1+3，a₇-a₄=2×4+3，…，a_3n+1-a_3n-2=2（3n-2）+3．利用“累加求和”可得a_3n+1-a₁=3n²+2n，即可得出S_3n+1=S_3n+a_3n+1．

解答： 解：（1）由题意得a₁=1，a₂=2，a₃=1，a₄=6，a₅=9，a₆=10，a₇=17，
计算：a₁+a₂+a₃=4，a₂+a₃+a₄=9，a₃+a₄+a₅=16，…
可归纳得数列{a_n}满足的递推关系式为an+an+1+an+2=(n+1)2，
由an+an+1+an+2=(n+1)2，an+1+an+2+an+3=(n+2)2，
两式相减得a_n+3-a_n=2n+3．
可得a_n=

1 n=1，2 an-1+an-2 n≥3

．
（2）由an+an+1+an+2=(n+1)2
可得a1+a2+a3=(1+1)2，a4+a5+a6=(4+1)2，a7+a8+a9=(7+1)2，…a3n-2+a3n-1+a3n=(3n-1)2=9n2-6n+1
∴S_3n=（a₁+a₂+a₃）+（a₄+a₅+a₆）+…+（a_3n-2+a_3n-1+a_3n），

=9(12+22+…+n2)-6(1+2+…+n)+n =9 n(n+1)(2n+1) 6 -6 n(n+1) 2 +n=3n3+ 3 2 n2- 1 2 n

由a_n+3-a_n=2n+3得：a₄-a₁=2•1+3，a₇-a₄=2•4+3，a₁₀-a₇=2•7+3，…，a_3n+1-a_3n-2=2•（3n-2）+3，
∴a3n+1-a1=2(1+4+…+3n-2)+3n=2

n(3n-2+1)

2

+3n=3n2+2n
∴a3n+1=3n2+2n+1
∴S3n+1=S3n+a3n+1=3n3+

3

2

n2-

1

2

n+3n2+2n+1=3n3+

9

2

n2+

3

2

n+1．
故答案为：22，3n3+

9

2

n2+

3

2

n+1．

点评：本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、“累加求和”，考查了猜想归纳球数列的通项公式的能力，考查了推理能力与计算能力，考查了转化思想，属于中档题．