Question

在平面直角坐标系中，的两个顶点、的坐标分别是（-1,0）,(1,0),点是的重心，轴上一点满足，且.

（1）求的顶点的轨迹的方程；

（2）不过点的直线与轨迹交于不同的两点、,当时，求与的关系，并证明直线过定点.

 

Answer 1

【答案】

(1)  (2) ,直线过定点

【解析】

试题分析：（1）设点坐标为，

因为为的重心，故点坐标为.

由点在轴上且知，点的坐标为,                   ……2分          

因为，所以，即.

故的顶点的轨迹的方程是.                  ……4分

(2)设直线与的两交点为.

由消去得，

则,

且,.                                     ……8分

因为，所以,

故，

整理得.解得.                           ……10分

①当时=，直线过点（-1，0）不合题意舍去。

②当时，=，直线过点.

综上所述,直线过定点.                                   ……12分

考点：本小题主要考查椭圆标准方程的求解，直线与椭圆的位置关系.

点评：求曲线方程时，不要忘记验证是否有限制条件；解决直线与圆锥曲线的位置关系时，一般离不开直线方程与圆锥曲线方程联立方程组，此时不要忘记验证判别式大于零.