题目内容

定义在R上的函数f（x）满足f(0)=0，f(x)+f(1-x)=1，f(
x
3
)=
1
2
f(x)，且当0≤x1＜x2≤1时，有f（x1）≤f（x2），则f(
1
2010
)的值为（　　）
A．
1
256
B．
1
128
C．
1
64
D．
1
32
∵定义在R上的函数f（x）满足f(0)=0，f(x)+f(1-x)=1，f(
x
3
)=
1
2
f(x)，
∴f（1）+f（0）=1，∴f（1）=1
f（
1
2
）+f（1-
1
2
）=1，∴f（
1
2
）=
1
2

f（
1
3
）=
1
2
f（1），∴f（
1
2
）=
1
2

f（
1
3
）=
1
2

∵
1
1458
＞
1
2010
＞
1
2187
，且当0≤x1＜x2≤1时，有f（x1）≤f（x2），
∴f(
1
1458
)＜f(
1
2010
)＜f(
1
2187
)，
又∵f（
1
1458
）=
1
2
f（
1
486
）=
1
22
f（
.
162
）=…=
1
26
f（
1
2
）=
1
27

f（
1
37
）=
1
2
f（
1
36
）=
1
22
f（
1
35
）=…=
1
27
f（1）=
1
27

∴f(
1
2010
)=
1
27
=
1
128

故选B
练习册系列答案
相关题目
定义在R上的函数f（x）既是偶函数又是周期函数，若f（x）的最小正周期是π，且当x∈[0，
π
2
]时，f（x）=sinx，则f（
5π
3
）的值为
 
．
20、已知定义在R上的函数f（x）=-2x3+bx2+cx（b，c∈R），函数F（x）=f（x）-3x2是奇函数，函数f（x）在x=-1处取极值．
（1）求f（x）的解析式；
（2）讨论f（x）在区间[-3，3]上的单调性．
定义在R上的函数f（x）满足：f(x+2)=
1-f(x)1+f(x)
，当x∈（0，4）时，f（x）=x2-1，则f（2010）=
 
．
已知定义在R上的函数f（x）=Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|≤
π
2
），最大值与最小值的差为4，相邻两个最低点之间距离为π，函数y=sin（2x+
π
3
）图象所有对称中心都在f（x）图象的对称轴上．
（1）求f（x）的表达式；    
（2）若f（
x0
2
）=
3
2
（x0∈[-
π
2
，
π
2
]），求cos（x0-
π
3
）的值．
已知定义在R上的函数f（x）的图象是连续不断的，且有如下对应值表：
x 0 1 2 3
f（x） 3.1 0.1 -0.9 -3
那么函数f（x）一定存在零点的区间是（　　）

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